Géométrie discrète et morphologie mathématique

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Responsable : TAJINE Mohamed
Permanents : BAUDRIER Etienne, DA COL-JACOB Marie Andrée, MAZO Loïc, NAEGEL Benoît, RONSE Christian, TAJINE Mohamed
Doctorants : Yves Michels
Post-doctorants : Odyssée Merveille



Objectifs

Ce thème regroupe les activités sur les modèles géométriques, topologiques, algébriques et discrets en imagerie.

En Géométrie Discrète, nous étudions les géométries et les topologies digitales, ainsi que la tomographie discrète. Les outils mathématiques que nous développons sont adaptés à l'analyse et à la synthèse d'images. Les objectifs visés sont, d'une part de bâtir une algorithmique robuste et performante en imagerie, en maîtrisant les erreurs de traitements liées à l'utilisation des nombres réels, et d'autre part de développer des outils pour étudier différentes propriétés (différentielles, géométriques et topologiques) des objets aussi bien discrets qu'euclidiens. Plus généralement, nous étudions les transferts des propriétés entre les espaces euclidiens représentant «la réalité» et les espaces discrets qui sont ceux de l'ordinateur.

En Morphologie Mathématique, nous étudions la construction de nouveaux opérateurs de traitement morphologique d'images, ainsi que l'extension de la morphologie à de nouveaux types d'objets. Des travaux sont également menés sur les opérateurs connexes, les arbres de coupe et la segmentation connective d'images, ainsi que sur l'application de la morphologie mathématique aux images en couleurs ou multispectrales.

Le domaine d'application privilégié est actuellement l'imagerie biomédicale, mais nous poursuivons également des travaux en imagerie de télédétection.

Thématiques de recherche

Les activités de recherche du thème sont structurées selon les axes suivants  :

  • Modèles de discrétisation pour les objets et les opérateurs : Extension de la discrétisation de Hausdorff aux images en nuances de gris et étude des opérateurs quasi-affines.
  • Reconstruction des caractéristiques et des objets :
    • Estimation de paramètres géométriques : L'objectif ultime est de concevoir une « théorie » effective de la mesure et de l’intégration pour les espaces discrets compatible avec celles des espaces « continus » permettant ainsi d'obtenir des estimateurs robustes de paramètres géométriques (périmètre, aire, etc.).
    • Reconstruction de propriétés euclidiennes : Conception d'une axiomatisation des géométries digitales à l'image de celles d’Euclide et de Hilbert dans l'espace « continu ».
    • Tomographie discrète : Étude des modèles classiques de tomographie discrète, du modèle basé sur les sources ponctuelles, de la notion de convexité par quadrants ainsi que l'estimation et la reconstruction des caractéristiques d'un objet directement à partir de ses projections.
  • Topologie digitale : Étude des modèles topologiques notamment pour les images de labels avec une visée applicative en imagerie médicale.
  • Analyse d'images : Étude des opérateurs connexes et des structures hiérarchiques.
  • Segmentation : Étude des critères d’optimisation des partitions partielles, en lien avec les relations d’ordre sur celles-ci.
  • Reconnaissance de formes : Intégration de méthodes d’apprentissage supervisé en morphologie mathématique.

Illustrations

Modèles de discrétisation pour les objets et les opérateurs :

Reconstruction des caractéristiques et des objets :

Topologie digitale :

Segmentation d'images :

Opérateurs connexes :

Publications